Direkt zum Inhalt

Wikipedia Version

Dieser Text basiert auf dem Artikel Atkinson-Maß aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung (de)). In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
Wikipedia-Version zuletzt aktualisiert am 21.04.19.

Atkinson-Maß

Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [1944–2017]) werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, mit denen beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Ursprung/Geschichte

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index D{\displaystyle D} ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen.

Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

Definition

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter ε{\displaystyle \varepsilon } festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist ε=0{\displaystyle \varepsilon =0} bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:

A=Aε=Aε(y1,…,yn)={1für ε=01−1μ(1n∑i=1nyi1−ε)1/(1−ε)für ε>0∧ε≠11−1μ(∏i=1nyi)1/nfür ε=1,{\displaystyle A=A_{\varepsilon }=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{n})={\begin{cases}1&{\mbox{für}}\ \varepsilon =0\\1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{für}}\ \varepsilon >0\land \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)^{1/n}&{\mbox{für}}\ \varepsilon =1,\end{cases}}}

wobei yi{\displaystyle y_{i}} das individuelle Einkommen (i = 1, 2, ..., N) und μ{\displaystyle \mu } das Durchschnittseinkommen ist.

Eigenschaften

Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:

  1. Symmetrie in den Argumenten: Aε(y1,…,yN)=Aε(yσ(1),…,yσ(N)){\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})} für alle Permutationen σ{\displaystyle \sigma }.
  2. Der Index liegt zwischen Null und Eins. 0≤A1≤1{\displaystyle 0\leq A_{1}\leq 1} und 0≤Aε≤1−n−ϵ<1{\displaystyle 0\leq A_{\varepsilon }\leq 1-n^{-\epsilon }<1} für alle ε≠1{\displaystyle \varepsilon \neq 1}
  3. Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: Aε(y1,…,yN)=0{\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0} gdw. yi=μ{\displaystyle y_{i}=\mu } für alle i{\displaystyle i}.
  4. Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: Aε({y1,…,yN},…,{y1,…,yN})=Aε(y1,…,yN){\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}
  5. Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: Aε(y1,…,yN)=Aε(ky1,…,kyN){\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})} für alle k>0{\displaystyle k>0}
  6. Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen.[1] Es gilt

Aε(yg,ig:ig=1,…,ng;g=1,…,G)=∑g=1GwgAε(yg,1,…,yg,ng)+Aε(μ1,…,μG){\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{g,i_{g}}:i_{g}=1,\ldots ,n_{g};g=1,\ldots ,G)=\sum _{g=1}^{G}w_{g}A_{\varepsilon }(y_{g,1},\ldots ,y_{g,n_{g}})+A_{\varepsilon }(\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}, wobei G{\displaystyle G} die Anzahl der Untergruppen angibt, μg{\displaystyle \mu _{g}} das Durchschnittseinkommen der Untergruppe g{\displaystyle g}, und die Gewichte wg=f(μg,μ,N,Ng){\displaystyle w_{g}=f(\mu _{g},\mu ,N,N_{g})} für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

Anwendung

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“[2] mit ε=1{\displaystyle \varepsilon =1} ergebenden Theil-Index I1{\displaystyle I_{1}} gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß[3] umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat.[4] Das Maß errechnet sich aus der Funktion 1−e−T{\displaystyle 1-e^{-T}}.

Siehe auch

Literatur

Originalaufsatz:

Zur Vertiefung:

  • Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
  • Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
  • Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. Econometrica, 48 (3), 613-625, doi:10.2307/1913126.
  2. „Generalized Entropy Class“, Janes E. Foster im Annex A.4.1 (S. 142) von Amartya Sen: On Economic Inequality. 1973/1997.
  3. Anthony B. Atkinson entwickelte verschiedene Maße. Das mit dem Theil-Index verwandte Maß findet sich bei Lionnel Maugis in: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (Veröffentlichung für IFORS 96). 1996.
  4. Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties (Memento des Originals vom 25. März 2009 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.uib.es (PDF; 330 kB). 2005.

zuletzt besuchte Definitionen...

    GEPRÜFTES WISSEN
    Über 200 Experten aus Wissenschaft und Praxis.
    Mehr als 25.000 Stichwörter kostenlos Online.
    Das Original: Gabler Wirtschaftslexikon

    zuletzt besuchte Definitionen...

      Literaturhinweise SpringerProfessional.de

      Bücher auf springer.com