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Revision von Bayes-Theorem vom 19.02.2018 - 16:03

Bayes-Theorem

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    Ausführliche Definition

    1. Begriff: Theorem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten. Bezeichnen w(θ1) und w(θ2) die unbedingten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der stochastisch abhängigen Ereignisse θ1 und θ2, und bezeichnet weiterhin w(θ2│θ1) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit für das Ereignis θ2 unter der Bedingung, dass θ1 eingetreten ist, so gilt für die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit w(θ1│θ2) nach dem Bayes-Theorem:

    MathML (base64):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

    2. Anwendung: Das Bayes-Theorem wird insbes. bei der Informationsverarbeitung angewendet (vgl. auch Informationswert): Bezeichnet θ2 ein bestimmtes Ereignis (z.B. zukünftige Insolvenz eines Kreditnehmers) und θ1 eine Information über das Ereignis (z.B. Bonitätsprüfung durch den Kreditgeber), so folgt die Anpassung des Wahrscheinlichkeitsurteils über θ2 (im Bsp.: Anpassung des Wahrscheinlichkeitsurteils über die Insolvenz des Kreditnehmers) rationalerweise nach dem Bayes-Theorem. Dabei wird das apriori Urteil w(θ2) in das a posteriori Urteil w(θ1) nach der angegebenen Formel überführt.

    3. Rechenbeispiel: Ein Kreditgeber schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kreditnehmer insolvent wird (Ereignis θ2), auf 5 Prozent. Er geht weiterhin davon aus, dass die im Hause routinemäßig vorgenommene Bonitätsprüfung mit 80-prozentiger Wahrscheinlichkeit eine korrekte Beurteilung liefert. Die Prüfung fällt negativ aus (Ereignis θ1). Die Wahrscheinlichkeit für dieses negative Prüfungsergebnis beträgt  w(θ1)=0,8·0,05+0,2·0,95=0,23. Sie setzt sich aus zwei Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen: Der Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Insolvenzvorhersage (0,8·0,05) zuzüglich der Wahrscheinlichkeit für eine inkorrekte Insolvenzvorhersage (0,2·0,95). Nach dem Bayes-Theorem passt der Kreditgeber sein Wahrscheinlichkeitsurteil wie folgt an:

    MathML (base64):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

    Die Insolvenzwahrscheinlichkeit steigt also von anfänglich 5 Prozent (a priori Urteil) auf 17,4 Prozent (a posteriori urteil) an.

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