Gesetz der großen Zahlen

In seiner mathematischen Variante ist das Gesetz der großen Zahlen eine fundamentale Gesetzmäßigkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie, nach der für eine Folge von Zufallsvariablen mit für alle (Erwartungswert) unter bestimmten Voraussetzungen und in einem zu präzisierenden Sinn die Folge der Stichprobenmittel bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert  konvergiert. Sind bspw. je zwei verschiedene Zufallsvariable unkorreliert (Korrelation) und besitzen alle Zufallsvariablen dieselbe Varianz, so gilt für alle 

(schwaches Gesetz der großen Zahlen); diese Bedingung ist insbesondere dann erfüllt, wenn die Folge der Zufallsvariablen unabhängig ist (Unabhängigkeit) und alle Zufallsvariablen dieselbe Verteilungsfunktion besitzen. Das Gesetz der großen Zahlen begründet die Schätzung des Erwartungswerts durch das Stichprobenmittel. In seiner empirischen Variante bringt das Gesetz der großen Zahlen die Erfahrungstatsache zum Ausdruck, dass bei einer Vergrößerung der Anzahl der Beobachtungen im Rahmen einer (homogenen) statistischen Grundgesamtheit die zugrunde liegende Zufallsgesetzmäßigkeit deutlicher zu Tage tritt.

2. Anwendungen: Zentrale Anwendungen findet das Gesetz der großen Zahlen zunächst in der Statistik (und damit auch in der versicherungswirtschaftlichen Risikostatistik) im Rahmen der Schätzung von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerten sowie höheren Momenten durch ihre Stichprobengegenstücke, d.h. der relativen Häufigkeit, dem Stichprobenmittelwert und den Stichprobenmomenten. Auch im Rahmen des versicherungswirtschaftlichen Risikoausgleichs findet das Gesetz der großen Zahlen seine Anwendung. In der Literatur wird das Gesetz der großen Zahlen teilweise als Synonym für den Risikoausgleich im Kollektiv verwendet und als Wesensmerkmal von Versicherungsvorgängen gesehen.