Bayes-Theorem

1. Begriff: Theorem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten. Bezeichnen w(θ₁) und w(θ₂) die unbedingten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der stochastisch abhängigen Ereignisse θ₁ und θ₂, und bezeichnet weiterhin w(θ₂│θ₁) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit für das Ereignis θ₂ unter der Bedingung, dass θ₁ eingetreten ist, so gilt für die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit w(θ₁│θ₂) nach dem Bayes-Theorem:

2. Anwendung: Das Bayes-Theorem wird insbes. bei der Informationsverarbeitung angewendet (vgl. auch Informationswert): Bezeichnet θ₂ ein bestimmtes Ereignis (z.B. zukünftige Insolvenz eines Kreditnehmers) und θ₁ eine Information über das Ereignis (z.B. Bonitätsprüfung durch den Kreditgeber), so folgt die Anpassung des Wahrscheinlichkeitsurteils über θ₂ (im Bsp.: Anpassung des Wahrscheinlichkeitsurteils über die Insolvenz des Kreditnehmers) rationalerweise nach dem Bayes-Theorem. Dabei wird das apriori Urteil w(θ₂) in das a posteriori Urteil w(θ₁) nach der angegebenen Formel überführt.

3. Rechenbeispiel: Ein Kreditgeber schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kreditnehmer insolvent wird (Ereignis θ₂), auf 5 Prozent. Er geht weiterhin davon aus, dass die im Hause routinemäßig vorgenommene Bonitätsprüfung mit 80-prozentiger Wahrscheinlichkeit eine korrekte Beurteilung liefert. Die Prüfung fällt negativ aus (Ereignis θ₁). Die Wahrscheinlichkeit für dieses negative Prüfungsergebnis beträgt  w(θ₁)=0,8·0,05+0,2·0,95=0,23. Sie setzt sich aus zwei Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen: Der Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Insolvenzvorhersage (0,8·0,05) zuzüglich der Wahrscheinlichkeit für eine inkorrekte Insolvenzvorhersage (0,2·0,95). Nach dem Bayes-Theorem passt der Kreditgeber sein Wahrscheinlichkeitsurteil wie folgt an:

Die Insolvenzwahrscheinlichkeit steigt also von anfänglich 5 Prozent (a priori Urteil) auf 17,4 Prozent (a posteriori urteil) an.