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Revision von Eigenwert vom 19.02.2018 - 15:06

Eigenwert

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    Ausführliche Definition

    Die Eigenwerte eines dynamischen Systems ergeben sich, indem dieses in die Zustandsform (Zustandsgleichungen) überführt wird. In linearisierter Form tritt dann in den expliziten Zustandsgleichungen eine Systemmatrix A auf, deren Eigenwerte λ sich über die charakteristische Gleichung

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5kZXQ8L21pPgo8bWZlbmNlZCBjbG9zZT0iKSIgb3Blbj0iKCI+Cjxtcm93Pgo8bWk+QTwvbWk+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPkk8L21pPgo8L21yb3c+CjwvbWZlbmNlZD4KPG1vPj08L21vPgo8bW4+MDwvbW4+CjwvbWF0aD4K

    mit I als Einheitsmatrix und det(·) als Determinante von A - λ·I bestimmen lassen. Es handelt sich bei den Eigenwerten um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(A - λ·I). Hat die Systemmatrix A die Dimension nxn, gibt es n Nullstellen dieses Polynoms und damit n Eigenwerte der Zustandsvariablen. Im Fall n=2 liegt ein Polynom zweiten Grades vor, und die Nullstellen bzw. λ1 , λergeben sich als Lösung einer quadratischen Gleichung. Ein bekanntes Beispiel hierzu sind die Eigenwerte λ1 , λ2 des dynamischen Grundmodells der neukeynesianischen Makroökonomik (Neukeynesianische Makroökonomik, dynamisches Grundmodell), die in der rein vorausschauenden Version dieses Modells unter einer Sattelpunktstabilitätsbedingung (Sattelpunktstabilität) außerhalb des Einheitskreises liegen, d.h. betragsmäßig größer eins ausfallen und dann instabil sind. Es gibt in diesem Fall genau eine konvergente Lösung der Zustandsgleichungen, die allein durch extrinsische Dynamik charakterisiert ist.

    Vgl. zugehöriger Schwerpunktbeitrag Neukeynesianische Makroökonomik.

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