Grenzwertsatz

zentraler Grenzwertsatz; wichtiger Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie mit großer Anwendungsbedeutung in der Stichprobentheorie.

1. Inhalt: Es sei X₁, ..., X_n, ... eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen, die eine beliebige Verteilung besitzen dürfen. Die zugehörige Folge von Summenvariablen ist Z₁ = X₁; Z₂ = X₁ + X₂; ...; Z_n = X₁ + ... + X_n; ... . Unter sehr allg. Voraussetzungen strebt (Satz von Ljapunoff, allgemeinste Variante des zentralen Grenzwertsatzes) die Verteilung der zu Z_n gehörenden standardisierten Variablen (Standardtransformation) gegen die Standardnormalverteilung. Bei einer spezielleren Variante (Satz von Lindeberg-Lévy) wird zusätzlich vorausgesetzt, dass die X_i alle dieselbe Verteilung haben.

2. Bedeutung: Der Satz von Ljapunoff kann als Begründung dafür dienen, dass Variablen, die als Überlagerung einer Vielzahl zufälliger und unabhängiger Einflüsse erklärt werden können, in der Realität oft annähernd normalverteilt (Normalverteilung) sind. Aus dem Satz von Lindeberg-Lévy ist abzuleiten, dass das arithmetische Mittel der Beobachtungswerte in einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe (uneingeschränktes Zufallsstichprobenverfahren) bei großem Stichprobenumfang selbst dann approximativ normalverteilt ist, wenn in der Grundgesamtheit keine Normalverteilung vorliegt. Dies ermöglicht es, gewissermaßen im Schutz großer Stichprobenumfänge, Verfahren der Intervallschätzung und statistische Testverfahren auf der Grundlage der Normalverteilung auch in Anwendungsfeldern einzusetzen, in denen die Normalverteilung empirisch nicht festzustellen ist, etwa in der Wirtschaftsstatistik.