Grenzwertsatz

zentraler Grenzwertsatz; wichtiger Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie mit großer Anwendungsbedeutung in der schließenden Statistik (Inferenzstatistik) und der Stichprobentheorie.

1. Inhalt: Es sei X₁, X₂, ... eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen, die eine beliebige Verteilung besitzen dürfen. Die zugehörige Folge von Summenvariablen ist Z₁ = X₁; Z₂ = X₁ + X₂; ...; Z_n = X₁ + ... + X_n; ... . Unter sehr allg. Voraussetzungen strebt (Satz von Ljapunoff) die Verteilung der zu Z_n gehörenden standardisierten Variablen (Standardtransformation) gegen die Standardnormalverteilung. Bei einer spezielleren Variante (Satz von Lindeberg-Lévy) wird zusätzlich vorausgesetzt, dass die X_i alle dieselbe Verteilung haben. Mit EX₁= μ und Var X₁ = σ² > 0 ist dann (X₁ + ... + X_n)/n approximativ normalverteilt mit den Parametern μ und σ²/n . 

2. Bedeutung: Der Satz von Ljapunoff kann als Begründung dafür dienen, dass Variablen, die als additive Überlagerung einer Vielzahl zufälliger und unabhängiger Einflüsse erklärt werden können, in der Realität oft annähernd normalverteilt (Normalverteilung) sind. Aus dem Satz von Lindeberg-Lévy ist abzuleiten, dass das arithmetische Mittel der Beobachtungswerte in einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe (uneingeschränktes Zufallsstichprobenverfahren) bei großem Stichprobenumfang auch approximativ normalverteilt ist, wenn in der Grundgesamtheit keine Normalverteilung vorliegt. Verfahren der Intervallschätzung und statistische Testverfahren auf der Grundlage der Normalverteilung können häufig näherungsweise bei großen Stichprobenumfängen eingesetzt werden, auch wenn die zugrundeliegende Verteilung von der Normalverteilung (stark) abweicht.