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Korrelationskoeffizient

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Das Original: Gabler Wirtschaftslexikon

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    Ausführliche Definition

    Korrelationsmaß; Maß, mit dem in der Korrelationsanalyse die „Stärke” eines positiven oder negativen Zusammenhangs (Korrelation) zwischen zwei quantitativen Merkmalen bzw. Zufallsvariablen gemessen werden kann. Zu beachten ist, dass der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient nur den Grad des linearen Zusammenhangs misst. Ein aus einer Zufallsstichprobe berechneter Korrelationskoeffizient stellt jeweils eine Punktschätzung für den entsprechenden Koeffizienten in der Grundgesamtheit dar.

    1. Bravais-Pearsonscher linearer Korrelationskoeffizient: Sind (xi,yi), i = 1, ... ,n , die n beobachteten Wertepaare des bivariaten Merkmals (X,Y), so ist der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient durch

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+cjwvbWk+Cjxtcm93Pgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT55PC9taT4KPC9tcm93Pgo8L21zdWI+Cjxtbz49PC9tbz4KPG1mcmFjPgo8bXN1Yj4KPG1pPnM8L21pPgo8bXJvdz4KPG1pPng8L21pPgo8bWk+eTwvbWk+CjwvbXJvdz4KPC9tc3ViPgo8bXJvdz4KPG1zdWI+CjxtaT5zPC9taT4KPG1pPng8L21pPgo8L21zdWI+Cjxtc3ViPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT55PC9taT4KPC9tc3ViPgo8L21yb3c+CjwvbWZyYWM+CjwvbWF0aD4K

    definiert, wobei sxy die empirische Kovarianz und sx, sy die empirischen Standardabweichungen der Merkmale X und Y in den jeweiligen Stichproben sind. Es ist also mit rxy = r

    definiert, wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K und MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eTwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K die arithmetischen Mittel der Werte der beiden Variablen bezeichnen (Korrelationskoeffizient der Stichprobe). Dieser Korrelationskoeffizient liegt, anders als die Kovarianz sxy, immer zwischen –1 und +1. Falls die Punkte (x1,y1), ... ,(xn,yn)  alle auf einer Geraden mit positiver (negativer) Steigung liegen, ist r = +1 (r = –1). Der Korrelationskoeffizient der Stichprobe hat wünschenswerte Eigenschaften als Schätzwert für den Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit dann, wenn letztere eine zweidimensionale Normalverteilung aufweist. Ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable, wobei Cov (X, Y) deren Kovarianz ist und Var X, Var Y die Varianzen der beiden Variablen bezeichnen, dann ist deren Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

    MathML (base64):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

    2. Spearman-Pearsonscher Rangkorrelationskoeffizient: Es seien R(xi) bzw. R(yi) der Rang des Wertes xi bzw. yi innerhalb der n Werte des ersten bzw des zweiten Merkmals, i = 1, ... ,n . Der Spearman-Pearsonsche Rangkorrelationskoeffizient rS ist der Bravais-Pearsonsche Koeffizient dieser Rangwerte und ergibt sich vereinfacht als (r=rS):

    MathML (base64):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

    falls x1, ... ,xn und y1, ... ,yn jeweils paarweise verschieden sind. Falls die Punktepaare (x1,y1), ... ,(xn,yn) alle auf einer streng monoton steigenden (fallenden) Kurve liegen, ist rs = +1 (rs = –1). Er kann auch bei nur ordinal skalierten Merkmalen (Ordinalskala) berechnet werden. Der Wert +1 wird angenommen, wenn die Ränge in den Datenreihen x1, ... ,xn bzw. y1, ... ,yn übereinstimmen. Der Wert -1 wird angenommen, falls die Ränge ein gegenläufiges Verhalten aufweisen.

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      Mindmap Korrelationskoeffizient Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelationskoeffizient-39501 node39501 Korrelationskoeffizient node40218 Korrelationsanalyse node39501->node40218 node49184 Varianz node39501->node49184 node47071 Unkorreliertheit node47071->node39501 node43143 Rangkorrelation node47071->node43143 node39516 Kovarianz node47071->node39516 node47071->node40218 node37668 Regression multiple node51013 Zufallsvariable node51013->node39501 node41507 Korrelationsmatrix node41507->node39501 node41507->node37668 node41507->node51013 node34873 Variable exogene node41507->node34873 node40362 Korrelation node40362->node39501 node42051 Rang node42051->node39501 node40152 Merkmal node43143->node39501 node43143->node40362 node43143->node42051 node43143->node40152 node39516->node39501 node36080 Fehler node36080->node49184 node44682 quantitatives Merkmal node40218->node44682 node40284 Inferenzstatistik node40218->node40284 node31622 deskriptive Statistik node40218->node31622 node31378 Ausreißer node31378->node49184 node41457 Korrekturfaktor node41457->node49184 node43301 Streuung node49184->node43301 node44682->node39501
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      Autoren der Definition und Ihre Literaturhinweise/ Weblinks

      Prof. Dr. Udo Kamps
      RWTH Aachen, Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik
      Inhaber des Lehrstuhls für Statistik

      Literaturhinweise SpringerProfessional.de

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      Mit der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten können zwei Merkmale gemeinsam untersucht werden. Sie messen einen statistischen Zusammenhang zwischen den Merkmalen.
      In der Einheit 2 haben wir bei der graphischen Darstellung von Meßreihen u.a. auch Punktediagramme zu zweidimensionalen Meßreihen betrachtet. In solchen Punktediagrammen kann man oft gewisse Abhängigkeiten zwischen den betreffenden Merkmalen …
      Mit der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten können zwei Merkmale gemeinsam untersucht werden. Sie messen einen statistischen Zusammenhang zwischen den Merkmalen.

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