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Varianz

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Das Original: Gabler Wirtschaftslexikon

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    Ausführliche Definition

    gebräuchlichste Maßzahl zur Charakterisierung der Streuung einer theoretischen oder empirischen Verteilung. Die Varianz ist ein nicht relativiertes Streuungsmaß.

    1. Ist X eine Zufallsvariable, so bezeichnet

    ( Var(X) = ) Var X = E((X - EX)2) = E(X2) - (EX)2

    deren Varianz. Bei einer diskreten Zufallsvariablen mit den Ausprägungen x1, x2, ... , der Wahrscheinlichkeitsfunktion f und dem Erwartungswert EX ist die Varianz gemäß

    MathML (base64):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

    zu ermitteln; analog ist bei stetigen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion f mittels Integration zu verfahren:

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5WPC9taT4KPG1pPmE8L21pPgo8bWk+cjwvbWk+CjxtaT5YPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bW8+4oirPC9tbz4KPG1zdXA+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1yb3c+CjxtaT54PC9taT4KPG1vPi08L21vPgo8bWk+RTwvbWk+CjxtaT5YPC9taT4KPC9tcm93Pgo8L21mZW5jZWQ+Cjxtbj4yPC9tbj4KPC9tc3VwPgo8bWk+ZjwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1pPng8L21pPgo8L21mZW5jZWQ+CjxtaT5kPC9taT4KPG1pPng8L21pPgo8bW8+PTwvbW8+Cjxtbz7iiKs8L21vPgo8bXN1cD4KPG1pPng8L21pPgo8bW4+MjwvbW4+CjwvbXN1cD4KPG1pPmY8L21pPgo8bWZlbmNlZCBjbG9zZT0iKSIgb3Blbj0iKCI+CjxtaT54PC9taT4KPC9tZmVuY2VkPgo8bWk+ZDwvbWk+CjxtaT54PC9taT4KPG1vPi08L21vPgo8bXN1cD4KPG1mZW5jZWQgY2xvc2U9IikiIG9wZW49IigiPgo8bXJvdz4KPG1pPkU8L21pPgo8bWk+WDwvbWk+CjwvbXJvdz4KPC9tZmVuY2VkPgo8bW4+MjwvbW4+CjwvbXN1cD4KPC9tYXRoPgo=



    2. Liegen n Ausprägungen x1, ... , xn eines metrischen Merkmals vor, so ist deren empirische Varianz MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3Vic3VwPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT54PC9taT4KPG1uPjI8L21uPgo8L21zdWJzdXA+CjwvbWF0aD4K, berechnet aus den Urwerten,

    MathML (base64):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

    wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K den Durchschnitt bezeichnet (arithmetisches Mittel).

    3. Ist eine klassierte Verteilung gegeben, dann ist die Varianz exakt als Summe der internen Varianz (Binnenklassenvarianz) und der externen Varianz (Zwischenklassenvarianz) zu bestimmen (Varianzzerlegung). Stehen die interne und externe Varianz nicht zur Verfügung, so wird die Varianz oft unter Verwendung der Klassenmitten x'j und der relativen Häufigkeiten pj, j=1, ... ,m , gemäß

    MathML (base64):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

    approximativ bestimmt, wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtcm93Pgo8bWk+azwvbWk+CjxtaT5sPC9taT4KPG1pPmE8L21pPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT5zPC9taT4KPC9tcm93Pgo8L21zdWI+CjwvbWF0aD4K das klassierte Mittel, i.e. der analoge Näherungswert für das arithmetische Mittel ist. Diese Näherung tendiert zu einem zu niedrigen Ausweis der Varianz, da die interne Varianz mit 0 unterstellt wird.

    4. Liegt ein Befund aus einem uneingeschränkten Zufallsstichprobenverfahren vor, dann wird die Stichproben-Varianz

    MathML (base64):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

    als Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit verwendet, weil sie im Gegensatz zu MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3Vic3VwPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT54PC9taT4KPG1uPjI8L21uPgo8L21zdWJzdXA+CjwvbWF0aD4K erwartungstreu ist (bes. Erwartungstreue). Zur einfacheren Berechnung der Varianz wird der Verschiebungssatz angewendet, der oben jeweils die zweite Formel ergibt.

    Mindmap Varianz Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-49184 node49184 Varianz node38922 Integration node49184->node38922 node33245 Gini-Koeffizient node28711 arithmetisches Mittel node33245->node28711 node54201 Omni-Channel-Management node54201->node38922 node54032 Industrie 4.0 node54032->node38922 node49361 Supply Chain Management ... node49361->node38922 node37062 nicht tarifäre Handelshemmnisse node38922->node37062 node42240 Standardisierung node42240->node28711 node46555 Skalenniveau node46555->node28711 node49676 Validität node35039 Grundgesamtheit node49676->node35039 node39769 Normalverteilung node39769->node49184 node39769->node28711 node39769->node35039 node40284 Inferenzstatistik node39769->node40284 node39516 Kovarianz node40362 Korrelation node39501 Korrelationskoeffizient node40362->node39501 node28711->node49184 node35039->node49184 node39501->node49184 node39501->node39769 node39501->node39516 node39501->node35039 node40284->node35039
    Mindmap Varianz Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-49184 node49184 Varianz node35039 Grundgesamtheit node49184->node35039 node28711 arithmetisches Mittel node49184->node28711 node38922 Integration node49184->node38922 node39769 Normalverteilung node39769->node49184 node39501 Korrelationskoeffizient node39501->node49184

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