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Varianz

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Das Original: Gabler Wirtschaftslexikon

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    Ausführliche Definition im Online-Lexikon

    gebräuchlichste Maßzahl zur Charakterisierung der Streuung einer theoretischen oder empirischen Verteilung. Die Varianz ist ein nicht relativiertes Streuungsmaß.

    1. Ist X eine Zufallsvariable, so bezeichnet

    ( Var(X) = ) Var X = E((X - EX)2) = E(X2) - (EX)2

    deren Varianz. Bei einer diskreten Zufallsvariablen mit den Ausprägungen x1, x2, ... , der Wahrscheinlichkeitsfunktion f und dem Erwartungswert EX ist die Varianz gemäß

    MathML (base64):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

    zu ermitteln; analog ist bei stetigen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion f mittels Integration zu verfahren:

    MathML (base64):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



    2. Liegen n Ausprägungen x1, ... , xn eines metrischen Merkmals vor, so ist deren empirische Varianz MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3Vic3VwPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT54PC9taT4KPG1uPjI8L21uPgo8L21zdWJzdXA+CjwvbWF0aD4K, berechnet aus den Urwerten,

    MathML (base64):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

    wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K den Durchschnitt bezeichnet (arithmetisches Mittel).

    3. Ist eine klassierte Verteilung gegeben, dann ist die Varianz exakt als Summe der internen Varianz (Binnenklassenvarianz) und der externen Varianz (Zwischenklassenvarianz) zu bestimmen (Varianzzerlegung). Stehen die interne und externe Varianz nicht zur Verfügung, so wird die Varianz oft unter Verwendung der Klassenmitten x'j und der relativen Häufigkeiten pj, j=1, ... ,m , gemäß

    MathML (base64):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

    approximativ bestimmt, wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtcm93Pgo8bWk+azwvbWk+CjxtaT5sPC9taT4KPG1pPmE8L21pPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT5zPC9taT4KPC9tcm93Pgo8L21zdWI+CjwvbWF0aD4K das klassierte Mittel, i.e. der analoge Näherungswert für das arithmetische Mittel ist. Diese Näherung tendiert zu einem zu niedrigen Ausweis der Varianz, da die interne Varianz mit 0 unterstellt wird.

    4. Liegt ein Befund aus einem uneingeschränkten Zufallsstichprobenverfahren vor, dann wird die Stichproben-Varianz

    MathML (base64):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

    als Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit verwendet, weil sie im Gegensatz zu MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3Vic3VwPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT54PC9taT4KPG1uPjI8L21uPgo8L21zdWJzdXA+CjwvbWF0aD4K erwartungstreu ist (bes. Erwartungstreue). Zur einfacheren Berechnung der Varianz wird der Verschiebungssatz angewendet, der oben jeweils die zweite Formel ergibt.

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    Mindmap Varianz Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-49184 node49184 Varianz node38922 Integration node49184->node38922 node44033 Personalmanagement node44033->node38922 node49676 Validität node35039 Grundgesamtheit node49676->node35039 node35034 Funktion node42989 Parameter node35034->node42989 node50522 Trend node50522->node42989 node28105 Bias node28105->node42989 node53872 Risk-Pooling node39501 Korrelationskoeffizient node53872->node39501 node40362 Korrelation node40362->node39501 node54201 Omni-Channel-Management node54201->node38922 node39769 Normalverteilung node39769->node49184 node39769->node35039 node39769->node42989 node40284 Inferenzstatistik node39769->node40284 node54032 Industrie 4.0 node54032->node38922 node49361 Supply Chain Management ... node49361->node38922 node35039->node49184 node42989->node49184 node39501->node49184 node39501->node39769 node39501->node35039 node40284->node35039 node45267 Statistik node45267->node35039
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