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Erwartungswert

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Das Original: Gabler Wirtschaftslexikon

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    Ausführliche Definition

    Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sind x1, x2, ... die Ausprägungen einer diskreten Zufallsvariablen X und f(x1), f(x2), ...  die jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, so ist

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5FPC9taT4KPG1pPlg8L21pPgo8bW8+PTwvbW8+Cjxtcm93Lz4KPG1zdWJzdXA+Cjxtcm93Lz4KPG1yb3c+CjxtaT5pPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bW4+MTwvbW4+CjwvbXJvdz4KPG1pPuKInjwvbWk+CjwvbXN1YnN1cD4KPG1vPuKIkTwvbW8+Cjxtc3ViPgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT5pPC9taT4KPC9tc3ViPgo8bWk+ZjwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1zdWI+CjxtaT54PC9taT4KPG1pPmk8L21pPgo8L21zdWI+CjwvbWZlbmNlZD4KPC9tYXRoPgo=

    der Erwartungswert von X (sofern die Summe wohldefiniert ist). Im Fall der Gleichverteilung bei einer endlichen Anzahl von Ausprägungen ergibt sich das arithmetische Mittel. Für eine stetige Zufallsvariable mit (Riemann-)Dichtefunktion f erhält man den Erwartungswert durch Integration:

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5FPC9taT4KPG1pPlg8L21pPgo8bW8+PTwvbW8+Cjxtcm93Lz4KPG1zdWJzdXA+Cjxtcm93Lz4KPG1yb3c+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPuKInjwvbWk+CjwvbXJvdz4KPG1pPuKInjwvbWk+CjwvbXN1YnN1cD4KPG1vPuKIqzwvbW8+CjxtaT54PC9taT4KPG1pPmY8L21pPgo8bWZlbmNlZCBjbG9zZT0iKSIgb3Blbj0iKCI+CjxtaT54PC9taT4KPC9tZmVuY2VkPgo8bWk+ZDwvbWk+CjxtaT54PC9taT4KPC9tYXRoPgo=

    (sofern das Integral wohldefiniert ist). Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist ein Lagemaß der Wahrscheinlichkeitsverteilung (Lokalisation).

    Die Erwartungswertbildung ist linear, d.h. für zwei Konstanten a und b gilt stets

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    Zudem gilt für beliebige Zufallsvariablen X und Y die Additivität: 

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    Weiterhin übeträgt sich die Ordnung X ≤ Y von Zufallsvariablen auf deren Erwartungswerte: EX ≤ EY.

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      Mindmap Erwartungswert Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/erwartungswert-36155 node36155 Erwartungswert node48370 Wahrscheinlichkeitsrechnung node36155->node48370 node50718 Wahrscheinlichkeit node36155->node50718 node36080 Fehler node49184 Varianz node36080->node49184 node44896 Risiko node30730 Bernoulli-Prinzip node46114 Risikopräferenz node30730->node46114 node46114->node36155 node46114->node44896 node44962 stochastische Unabhängigkeit node31289 Chi-Quadrat-Verteilung node42272 Standardnormalverteilung node42272->node36155 node51013 Zufallsvariable node51013->node36155 node47461 t-Verteilung node47461->node36155 node47461->node44962 node47461->node31289 node47461->node42272 node47461->node51013 node31378 Ausreißer node31378->node49184 node47114 Wahrscheinlichkeitsauffassungen node48370->node47114 node48370->node50718 node47822 zufälliges Ereignis node48370->node47822 node40284 Inferenzstatistik node48370->node40284 node43301 Streuung node49184->node36155 node49184->node43301 node34684 Entscheidungsfehler node41922 statistische Testverfahren node34684->node41922 node41457 Korrekturfaktor node41457->node36155 node41457->node49184 node41457->node41922 node30405 Anpassungstest node30405->node41922 node41922->node36155 node41922->node40284 node32315 Entscheidungstheorie node32315->node46114
      Mindmap Erwartungswert Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/erwartungswert-36155 node36155 Erwartungswert node48370 Wahrscheinlichkeitsrechnung node36155->node48370 node41922 statistische Testverfahren node41922->node36155 node49184 Varianz node49184->node36155 node47461 t-Verteilung node47461->node36155 node46114 Risikopräferenz node46114->node36155

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      Autoren der Definition und Ihre Literaturhinweise/ Weblinks

      Prof. Dr. Udo Kamps
      RWTH Aachen, Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik
      Inhaber des Lehrstuhls für Statistik

      Literaturhinweise SpringerProfessional.de

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