arithmetisches Mittel

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Ausführliche Definition

Durchschnitt; gebräuchlichster Mittelwert der Statistik, der in der Inferenzstatistik (in der Anwendung auf Zufallsvariablen) auch wünschenswerte schätztheoretische Eigenschaften besitzt (Erwartungstreue, Wirksamkeit, Konsistenz). Sind n Ausprägungen x_i (i = 1,..., n) eines metrischen Merkmals gegeben, so ist das arithmetische Mittel definiert durch

$\Bar{x}=\frac{1}{n}\cdot\sideset{}{^n_ {i=1}}\sum x_i$

Das arithmetische Mittel ist also gleich dem Gesamtmerkmalsbetrag dividiert durch die Anzahl der Merkmalsträger.

Gewogenes arithmetische Mittel: Die einzelnen Merkmalswerte werden mit Gewichten g₁, ... ,g_n ≥ 0 mit g₁+ ... +g_n=1 versehen (Gewichtung):

$\Bar{x}_g = \sideset{}{^n_ {i=1}}\sum g_i x_i$

Ein Spezialfall eines gewogenen arithmetischen Mittels ist die näherungsweise Berechnung des arithmetischen Mittels bei Vorliegen von klassierten Daten (klassierte Verteilung). Ist v_j die Mitte der j-ten Klasse und n_j (p_j) deren absolute (relative) Häufigkeit, j=1, ... , m, so verwendet man

$\Bar{x}_{klass} = \frac{1}{m}\sideset{}{^m_ {j=1}}\sum v_j n_j = \sideset{}{^m_ {j=1}}\sum v_j p_j$

also den mit den Klassenhäufigkeiten gewogenen Durchschnitt der Klassenmitten, als Approximation für den Gesamtdurchschnitt.

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