Trendbereinigung und Stationarisierung

1. Deterministische Trends: Bei der Trendbereinigung sind zunächst die Trendparameter mit OLS (Kleinstquadratemethode, gewöhnliche) zu schätzen. Im Falle eines linearen Trends sind dies die Parameter des Modells Y_t = β₀ + β₁t + ε_t. Mit den Parameterschätzungen können dann die Werte der trendbereinigten und damit stationären Zeitreihe über

bestimmt werden. Diese sind nichts anderes als die Residuen aus der Schätzung der Trendparameter.

Unterliegen die Variablen eines Regressionsmodells ähnlichen deterministischen Trends, so kann entweder jede Variable in der oben beschriebenen Art trendbereinigt und dann das Modell ohne das Risiko einer Scheinregression geschätzt werden. Alternativ kann im Falle eines linearen Trends auch einfach eine Variable t mit den ganzzahligen Realisationen 1,…,T in das zu schätzende Modell aufgenommen werden. Diese beseitigt die Verzerrung, der Parameterschätzer, die bei vorliegendem deterministischen Trend entstünde.

Die Bildung erster oder höherer Differenzen von Zeitreihen mit deterministischen Trends  führt zu schwerwiegenden Komplikationen. Der differenzierte Störterm stellt i.Allg. einen nicht invertierbaren MA(1)-Prozess dar, da der MA-Prozess eine Einheitswurzel (Einheitswurzeltest) aufweist.

2. Stochastische Trends: Folgt eine Zeitreihe einem stochastischen Trend, müssen im Gegensatz zu deterministischen Trends Differenzen gebildet werden, um stationäre Reihen zu erhalten. Bei einem Random Walk mit Drift sind z.B. die ersten Differenzen stationär. Bei anderen Prozessen sind es ggf. erst höhere Differenzen. Werden derart gebildete stationäre Differenzen in Regressionsmodellen eingesetzt, ist die Gefahr einer Scheinregression gebannt.

Eine lineare Trendbereinigung, wie sie beim deterministischen Trend beschrieben wurde, würde bei stochastischen Trends nicht stationäre Reihen liefern, warum von einer derartigen Vorgehensweise bei stochastischen Trends strikt abzuraten ist.