stochastische Unabhängigkeit

1. Bei zwei zufälligen Ereignissen A und B liegt stochastische Unabhängigkeit dann vor, wenn die Information, dass Ereignis B eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A nicht beeinflusst. Stochastische Unabhängigkeit ist dadurch gekennzeichnet, dass W(A ∩ B) = W(A) · W(B) gilt, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens beider Ereignisse also gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist (Multiplikationssätze der Wahrscheinlichkeit). In diesem Fall gilt auch für die bedingten Wahrscheinlichkeiten (W(A|B) = W(A) bzw. W(B|A) = W(B)), wobei W(B) ≠ 0 bzw. W(A) ≠ 0 vorausgesetzt werden muss.

Bei mehr als zwei Ereignissen wird die Definition der stochastischen Unabhängigkeit in Richtung auf paarweise und totale stochastische Unabhängigkeit der beteiligten Ereignisse verallgemeinert.

2. Bei einem Zufallsvektor (X,Y) mit zwei Komponenten liegt der Spezialfal stochastische Unabhängigkeit vor, wenn für die Verteilungsfunktion F(x, y) = F_X(x) · F_Y(y) gilt. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bzw. Dichtefunktion) des Zufallsvektors (X,Y) ebenfalls als Produkt der Wahrscheinlichkeitsfunktionen (bzw. Dichtefunktionen) von X und Y darstellbar (vgl. diskrete bzw. stetige Zufallsvariablen).

Für einen Zufallsvektor mit mehr als zwei Komponenten ist die Definition der stochastischen Unabhängigkeit entsprechend zu verallgemeinern.