Instrumentenvariablenschätzer

Zur Veranschaulichung sei ein Regressionsmodell Y_i = β₀ + β₁X_i + ε_i betrachtet, in dem die erklärende Variable mit dem Störterm korreliert ist. Wurde eine Instrumentenvariable Z für X gefunden, so kann z.B. der Instrumentenvariablenschätzer für β₁ als

angegeben werden, wobei x_i, y_i und z_i für die Abweichungen der jeweiligen Variablen von ihren Stichprobenmittelwerten stehen. Er stellt nichts anderes als die Stichprobenkovarianz zwischen Y und Z dividiert durch die Stichprobenkovarianz zwischen X und Z dar und ist ein konsistenter Schätzer für β₁. Wären die Instrumentenvariable Z und X nicht korreliert, so wäre der Schätzer nicht definiert. Ein Vergleich mit der Formel des OLS-Schätzers (Kleinstquadratemethode, gewöhnliche) zeigt, dass im Zuge der Instrumentenvariablenschätzung nicht einfach nur die Variable X durch die Variable Z ersetzt wird.

Liegen mehrere Instrumente für X vor, so verwendet man nicht das Z mit der höchsten Korrelation mit X, sondern berücksichtigt alle Z in geeigneter Weise. Dies geschieht in der Praxis meist mit der sog. zweistufigen Kleinstquadratemethode (Kleinstquadratemethode, zweistufige), die eng mit dem Instrumentenvariablenschätzer verwandt ist. Diese wird meist auch für Modelle herangezogen, in denen mehrere erklärende Variablen mit dem Störterm korreliert sind.

Ob die Durchführung einer Instrumentenvariablenschätzung bzw. die Anwendung der zweistufigen Kleinstquadratemethode überhaupt erforderlich ist, kann mit dem Hausman-Wu-Exogenitätstest geprüft werden.