Korrelationskoeffizient

Korrelationsmaß; Maß, mit dem in der Korrelationsanalyse die „Stärke” eines positiven oder negativen Zusammenhangs (Korrelation) zwischen zwei quantitativen Merkmalen bzw. Zufallsvariablen gemessen werden kann. Ein aus einer Zufallsstichprobe berechneter Korrelationskoeffizient stellt jeweils eine Punktschätzung für den entsprechenden Koeffizienten in der Grundgesamtheit dar.

1. Bravais-Pearson'scher linearer Korrelationskoeffizient: Sind (x_i,y_i) die n beobachteten Wertepaare zweier Merkmale, so ist der Bravais-Pearson'sche Korrelationskoeffizient durch

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definiert, wobei und die arithmetischen Mittel der Werte der beiden Variablen bezeichnen (Korrelationskoeffizient der Stichprobe). Dieser Korrelationskoeffizient, der eng mit der Kovarianz verwandt ist, liegt, anders als diese, immer zwischen –1 und +1. Falls die (x_i,y_i) alle auf einer Geraden mit positiver (negativer) Steigung liegen, ist r = +1 (r = –1). Der Korrelationskoeffizient der Stichprobe hat wünschenswerte Eigenschaften als Schätzwert für den Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit dann, wenn letztere eine zweidimensionale Normalverteilung aufweist. Ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable, wobei cov (X, Y) deren Kovarianz ist und var X, var Y die Varianzen der beiden Variablen bezeichnen, dann ist deren Bravais-Pearson'scher Korrelationskoeffizient

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2. Spearman-Pearson'scher Rangkorrelationskoeffizient: Es sei R_xi (R_yi) der Rang des Wertes x_i (y_i) innerhalb der n Werte des ersten (zweiten) Merkmals. Der Spearman-Pearson'sche Rangkorrelationskoeffizient ist der Bravais-Pearson'sche Koeffizient dieser Rangwerte und ergibt sich vereinfacht als:

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Falls die (x_i,y_i) alle auf einer streng monoton steigenden (fallenden) Kurve liegen, ist r_s = +1 (r_s = –1). Er kann auch bei nur ordinal skalierten Merkmalen (Ordinalskala) berechnet werden.