wiederholte Spiele

Wird ein (Basis-)Spiel wiederholt, so muss man das (Super-)Spiel analysieren, das alle Spielrunden umfasst. Um das Superspiel zu definieren, ist natürlich noch festzulegen, welche Informationen die Spieler über die Ergebnisse der vorherigen Runden erhalten und wie sie die möglichen Sequenzen von Rundenresultaten bewerten. Man geht davon aus, dass alle Spieler alle vorherigen Entscheide erfahren, und dass sie die möglichen Ergebnissequenzen gemäß ihrer langfristigen Durchschnittsauszahlung (bei unendlicher Rundenzahl z.B. gemäß dem limes inferior) bewerten.

Konkret sei davon ausgegangen, dass das Vertrauensspiel (vgl. Abbildung „Extensive Form - Vertrauensspiel”; extensive Form) unendlich oft wiederholt wird. Eine Strategie s₁^∞ im Superspiel muss dann für jede mögliche Sequenz bisheriger Rundenresultate eine Entscheidung für N oder V durch Spieler 1 vorschreiben. Analog muss für jede solche Sequenz und die anschließende Wahl von V durch Spieler 1 die Strategie s₂^∞ eine Wahl zwischen A und G vorsehen.

Als Beispiel für einen solchen Strategievektor s^∞ = (s₁^∞, s₂^∞) soll uns der Vektor der „Grimmstrategien” dienen, gemäß dem Spieler 1 so lange V wählt und Spieler 2 so lange mit G auf V reagiert, wie niemand davon abweicht, und gemäß dem Spieler 1 ewiglich N und Spieler 2 ewiglich mit A auf V reagiert, falls von der vertrauensvollen Kooperation (V, G) nur einmal abgewichen wurde. Die permanente Wahl von N und A ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht des Superspiels, da wegen der Wahl von A Spieler 1 sich nicht verbessern kann und auch Spieler 2 nicht besser entscheiden könnte. Dass der Vektor s^∞ der „Grimmstrategien” ein teilspielperfektes Gleichgewicht darstellt, setzt weiterhin voraus, dass einseitigen Abweichen von s^∞ nicht lohnt. Nun impliziert s^∞ für beide Spieler die konstante und damit durchschnittliche Auszahlung in Höhe von s. Weicht nur ein Spieler einmal ab, sodass das Ergebnis (V, G) infrage gestellt wird, erhalten fortan beide Spieler konstant die Auszahlung t, die damit ihre Durchschnittsauszahlung ist. Einseitiges Abweichen führt also stets zu einer Auszahlungsminderung, d.h. der Vektor s^∞ der „Grimmstrategien” ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht im Superspiel mit unendlicher Rundenzahl.

Im Vergleich zum einmalig gespielten Vertrauensspiel, in dem es aufgrund der Lösung (N, A) zu keiner Kooperation kommt, erscheint dieses Ergebnis wie ein Wunder, da nun auf einmal vertrauensvolle Kooperation möglich sein soll. Die Existenz derart überraschender teilspielperfekter Gleichgewichte wird durch sog. Folk-Theoreme bewiesen, deren konzeptionelle Rechtfertigung allerdings auf tönernen Füßen steht.

Wird das Vertrauensspiel nur endlich oft wiederholt, so lässt sich rückwärtsinduktiv zeigen, dass Spieler 1 stets N und Spieler 2 stets A wählen würde. Für die letzte Runde gilt dies, da (N, A) das einzig teilspielperfekte Gleichgewicht im einmal gespielten Vertrauensspiel ist. Wird aber in Zukunft stets gemäß (N, A) gewählt, so ist auch heute A die einzige beste Antwort auf V und darum auch N die bessere Wahl von Spieler 1, d.h. das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht im Superspiel mit endlicher Wiederholungszahl schreibt stets die Wahl von N durch Spieler 1 und A durch Spieler 2 vor. Das teilspielperfekte Gleichgewicht s^∞ der „Grimmstrategien” des unendlich oft wiederholten Vertrauensspiels kann daher nicht durch teilspielperfekte Gleichgewichte in endlich oft wiederholten Vertrauensspielen approximiert werden, d.h. s^∞ ist nicht asymptotisch konvergent. Wie soll man dann s^∞ rechtfertigen? Dadurch, dass Menschen glauben, unendlich lange zu leben? Überzeugender erscheint es, nur asymptotisch konvergente Gleichgewichte zu akzeptieren und damit die Relevanz der Folk-Theoreme zu negieren.