Normalverteilung

Gauß'sche Normalverteilung; eine in der Inferenzstatistik bes. wichtige stetige theoretische Verteilung, hergeleitet von C.F. Gauß.

1. Die expliziten Parameter der Normalverteilung sind der Erwartungswert μ und die Varianz ². Mithilfe der Standardtransformation können Normalverteilungen mit beliebiger Parameterlage in die Standardnormalverteilung (μ = 0; ² = 1) überführt werden. Für die Auswertung der Dichtefunktion bzw. Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung existieren Tabellenwerke, in denen Wahrscheinlichkeitsdichten bzw. Werte der Verteilungsfunktion verzeichnet sind. Die Tabellen der Standard-Normalverteilung können daher zur Auswertung beliebiger Normalverteilungen herangezogen werden.

2. Eigenschaften: Bei graphischer Darstellung ergibt die Dichtefunktion einer Normalverteilung eine glockenförmige Kurve, die symmetrisch zur Geraden x = μ ist. Der Erwartungswert μ fällt mit dem Modus und dem Median zusammen. Die Glockenkurve hat Wendepunkte bei den Abszissen μ + σ bzw. μ

σ. Für eine μ-σ-normalverteilte Zufallsvariable X gilt (gerundete Werte): W{μ

≤ X ≤ μ + σ} = 0,6827; W{μ

2 ≤ X ≤ μ + 2} = 0,9545; W{μ

3 ≤ X ≤ μ + 3} = 0,9973.

Vgl. Abbildung „Normalverteilung”.

Bild in Originalgröße zeigen

– 3. Bedeutung: Annähernd normalverteilte Merkmale sind in der Wirtschaft gelegentlich, im technisch-naturwissenschaftlichen Bereich häufig zu beobachten. Dies ist durch den Zentralen Grenzwertsatz begründbar. Außerdem ist z.B. der Stichprobendurchschnitt (arithmetisches Mittel) bei großem Stichprobenumfang annähernd auch dann als normalverteilt zu betrachten, wenn über die Verteilung der Grundgesamtheit nichts bekannt ist. Schließlich eignet sich die Normalverteilung zur Approximation vieler theoretischer Verteilungen unter gewissen Voraussetzungen, etwa der Binomialverteilung, der hypergeometrischen Verteilung, der Poissonverteilung oder der Chi-Quadrat-Verteilung.