Verhulst-Dynamik

von Verhulst (1845) anhand einer Populationsdynamik aufgezeigtes Phänomen des komplexen Verhaltens einer einfachen nicht linearen Beziehung f(x_t) = x_t+1 · x_t steht für die Größe einer Population zum Zeitpunkt t. Die Schreibweise der Verhulst-Dynamik lautet:

x_t+1 = ax_t (1 - x_t).

Das System zeigt folgendes Verhalten: Für kleine Werte des Kontrollparameters a (0 < a < 1) konvergiert die Populationsgröße unabhängig vom Startwert gegen Null: Die Population stirbt aus. Wenn gilt: steuert das System unabhängig vom Startwert einen stabilen Attraktor). Wenn a > 3 ändert sich das Systemverhalten (Bifurkation): Für ist die Systemdynamik durch stabile periodische Schwingungen gekennzeichnet, d.h. alle Phasenbahnen konvergieren gegen einen stabilen Grenzzyklus. Wenn gilt:  tritt das System in das chaotische Regime ein, in dem sowohl stabile Schwingungen mit unterschiedlicher Zyklenzahl als auch völlig aperiodische Schwankungen der Populationsgröße auftreten. In diesem Bereich ist das Systemverhalten extrem sensibel von den Anfangs- und Randbedingungen abhängig. Die Verhulst-Dynamik gilt als einfachster Zugang zum Phänomen des sog. deterministischen Chaos. Es zeigt, dass chaotisches Verhalten nichts mit Zufall oder externen Störquellen zu tun haben muss.