Kostenfunktion, Herleitung aus der Produktionsfunktion

Definition: Was ist "Kostenfunktion, Herleitung aus der Produktionsfunktion"?

Abhängigkeit des Kostenverlaufs von der Art und dem Verlauf der Produktionsfunktion.

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Das Original: Gabler Wirtschaftslexikon

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Ausführliche Definition im Online-Lexikon

1. Allgemein: a) Die Produktionstheorie bildet die Grundlage, um verschiedene Kostenverläufe zu erklären. Der Zusammenhang lässt sich verdeutlichen, wenn man zunächst auf nur einen Produktionsfaktor A abstellt: x = φ (A). Es gilt definitorisch K(x) = p_A · A (p_A = Lohnsatz, A = Arbeitsmenge). Wegen

$A = \partial^{-1} (x)$ folgt mit

$K = p_A \; \cdot \partial ^{-1}\; (x)$

der behauptete Zusammenhang. Daraus ergibt sich auch die Beziehung zwischen Durchschnittskosten und Durchschnittsertrag einerseits, von Grenzkosten und Grenzertrag andererseits. Aus K(x) = p_A · A folgt:

$DK (x) = \frac{AP_A}{x} = \frac{p_A}{\frac{x}{A}} = \frac{p_A}{DE}$

(mit DE = Durchschnittsertrag), ebenso gilt:

$GK = \frac{dK}{dx} = p_A \frac{dA}{dx} = \frac{p_A}{\frac{dx}{dA}} = \frac{p_A}{GE}$

(GE = Grenzertrag). Man sieht, dass DK bzw. GK fallen, steigen oder konstant bleiben müssen, wenn DE bzw. GE steigen, fallen oder konstant sind, d.h. es handelt sich, bei konstantem Lohnsatz, jeweils um reziproke Größen. D.h. zugleich, dass den Maxima der Grenz- bzw. Durchschnittserträge die Minima der Grenz- bzw. Durchschnittskosten entsprechen. Die Kostenverläufe sind damit auf die Ertragsverläufe zurückführbar.

b) Bei mehr als einem Produktionsfaktor (A, B, ...) kann man die Kostenfunktion

K(x) = A pA + B pB + ...

nicht direkt unter Zuhilfenahme der Produktionsfunktion x = F(A, B, ...) ableiten. Dies gelingt nur im Hinblick auf spezifische Faktorvariationen.

2. Den Fall der partiellen Faktorvariation kann man direkt auf denjenigen eines Faktors zurückführen ( $\overline {B}$ , ... sind konstant). Wenn bei $\overline {x}$ = F(A, $\overline {B}$ , $\overline{C}$ , ...) nur A variabel ist, so führen die Aufwendungen für $\overline {B}$ , $\overline{C}$ etc. zu den FK, der Aufwand von A zu VK(x). Die Zusammenhänge zwischen DK bzw. GK und DE bzw. GE sind dann auf den variierten Faktor zu beziehen.

Beispiel: ∂x/∂A, x/A.

3. Entsprechendes gilt für die proportionale Faktorvariation (der Faktoreinsatz Ā, B wird auf das $\lambda$ -fache erhöht). Wegen

$K (x) = A_{p_{A}} + B_{p_{B}} + C_{p_{C}} + \cdots \\ = \lambda \overline{A}_{p_{A}} + \lambda \overline{B}_{p_{B}} + \lambda \overline{C}_{p_{C}} + \dots \\ = \lambda (\overline{A}_{p_{A}} + \overline{B}_{p_{B}} + \overline{C}_{p_{C}} + \dots ) \\ = \lambda K (\overline{x}),$

wobei $\overline{x}$ = F( $\overline {A}$ , $\overline{B}$ , $\overline{C}$ , ...) bezeichnet. Unterstellt man eine homogene Produktionsfunktion, so gilt x = $\lambda$ ^r · $\overline{x}$ , wobei r den Homogenitätsgrad bezeichnet; es folgt dann:

$K (x) = (\frac{x}{\overline {x}}) ^\frac{1}{r}K(\overline{x}).$

Für r = 1, r < 1 und r > 1 erhält man jeweils die Verläufe a), b) und c). Dies ergibt sich auch aus den Gleichungen

$DK (x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{\lambda K(\overline{x})}{x} = \frac{K(\overline{x})}{\frac{x}{\lambda}} = \frac{K(\overline{x})}{DE_\lambda}$

bzw.

$GK (x) = \frac{dK (x)}{dx} = \frac{d\lambda}{dx} K (\overline {x}) = \frac{K(\overline{x})}{\frac{dx}{d\lambda}} = \frac{K(\overline{x})}{GE_\lambda},$

wobei DE $_\lambda$ und GE $_\lambda$ für das Niveaudurchschnitts- und Niveaugrenzprodukt stehen.

4. Der Fall der isoquanten Faktorvariation wird relevant, wenn sich infolge einer Änderung der relativen Faktorpreise die Minimalkostenkombination ändert. Damit wird die Verschiebung der Kostenfunktion als Folge dieser Preisänderung erklärt. Für je zwei Faktoren muss

$\frac{\partial x}{\partial A}/ \frac{\partial x}{\partial B} = \frac{p_A}{p_B}$

(Minimalkostenkombination)

gelten, was hier zu einer Beziehung zwischen A und B führt, mit deren Hilfe aus der Definitionsgleichung K = A p_A + B p_B und der Produktionsfunktion x = F(A, B) die Kostenfunktion K(x) bestimmt werden kann. Entsprechend ergibt sich auch die neue Kostenfunktion nach einer Änderung der Faktorpreisrelation.

5. Bei der Leontief-Produktionsfunktion (linear-limitationale Produktionsfunktion) kommt nur die proportionale Faktorvariation in Betracht, weil das Einsatzverhältnis der Faktoren konstant ist. Wegen (x = $\alpha$ A; x = $\beta$ B) ergibt sich in diesem Fall ( $\alpha$ , $\beta$ = konstant)

$K(x) = A_{P_A} + B_{P_B} = \frac{x}{\alpha}\; p_A + \frac{x}{\beta}\; p_B$ und

$DK(x) = GK (x) = \frac{p_A}{\alpha} + \frac{p_B}{\beta} = \textnormal {konstant}.$