Korrelationskoeffizient

Korrelationsmaß; Maß, mit dem in der Korrelationsanalyse die „Stärke” eines positiven oder negativen Zusammenhangs (Korrelation) zwischen zwei quantitativen Merkmalen bzw. Zufallsvariablen gemessen werden kann. Zu beachten ist, dass der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient nur den Grad des linearen Zusammenhangs misst. Ein aus einer Zufallsstichprobe berechneter Korrelationskoeffizient stellt jeweils eine Punktschätzung für den entsprechenden Koeffizienten in der Grundgesamtheit dar.

1. Bravais-Pearsonscher linearer Korrelationskoeffizient: Sind (x_i,y_i), i = 1, ... ,n , die n beobachteten Wertepaare des bivariaten Merkmals (X,Y), so ist der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient durch

definiert, wobei s_xy die empirische Kovarianz und s_x, s_y die empirischen Standardabweichungen der Merkmale X und Y in den jeweiligen Stichproben sind. Es ist also mit r_xy = r

Bild in Originalgröße zeigen

definiert, wobei und die arithmetischen Mittel der Werte der beiden Variablen bezeichnen (Korrelationskoeffizient der Stichprobe). Dieser Korrelationskoeffizient liegt, anders als die Kovarianz s_xy, immer zwischen –1 und +1. Falls die Punkte (x₁,y₁), ... ,(x_n,y_n)  alle auf einer Geraden mit positiver (negativer) Steigung liegen, ist r = +1 (r = –1). Der Korrelationskoeffizient der Stichprobe hat wünschenswerte Eigenschaften als Schätzwert für den Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit dann, wenn letztere eine zweidimensionale Normalverteilung aufweist. Ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable, wobei Cov (X, Y) deren Kovarianz ist und Var X, Var Y die Varianzen der beiden Variablen bezeichnen, dann ist deren Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

2. Spearman-Pearsonscher Rangkorrelationskoeffizient: Es seien R(x_i) bzw. R(y_i) der Rang des Wertes x_i bzw. y_i innerhalb der n Werte des ersten bzw des zweiten Merkmals, i = 1, ... ,n . Der Spearman-Pearsonsche Rangkorrelationskoeffizient r_S ist der Bravais-Pearsonsche Koeffizient dieser Rangwerte und ergibt sich vereinfacht als (r=r_S):

falls x₁, ... ,x_n und y₁, ... ,y_n jeweils paarweise verschieden sind. Falls die Punktepaare (x₁,y₁), ... ,(x_n,y_n) alle auf einer streng monoton steigenden (fallenden) Kurve liegen, ist r_s = +1 (r_s = –1). Er kann auch bei nur ordinal skalierten Merkmalen (Ordinalskala) berechnet werden. Der Wert +1 wird angenommen, wenn die Ränge in den Datenreihen x₁, ... ,x_n bzw. y₁, ... ,y_n übereinstimmen. Der Wert -1 wird angenommen, falls die Ränge ein gegenläufiges Verhalten aufweisen.