Kleinstquadratemethode, verallgemeinerte

Sind die Varianzen der Störterme in linearen Einzelgleichungsmodellen verschieden (Heteroskedastizität) und/oder sind die Störvariablen autokorreliert (Autokorrelation), dann sind OLS-Schätzer (Kleinstquadratemethode, gewöhnliche) nicht länger effizient und die ausgewiesenen Standardfehler der Schätzer falsch.

Angenommen die Heteroskedastizitäts- bzw. Autokorrelationsstruktur des Modells ist bekannt. Man weiß von welchen Variablen die bedingte Varianz des stochastischen Störterms in welcher funktionalen Form bei bekannten Funktionsparametern abhängt. Außerdem kennt man den AR(p)-Prozess inkl. seiner Parameter, dem der stochastische Störterm folgt. In einem solchen Fall kann das vorliegende Regressionsmodell so transformiert werden, dass eine Anwendung der OLS-Schätzer auf dieses transformierte Modell bzw. die sog. GLS-Gleichung wieder effiziente Schätzungen liefert. Diese Transformation und die Schätzung des resultierenden Modells ist als verallgemeinerte Kleinstquadratemethode (engl. Generalized Least Squares, GLS) bekannt. Den OLS-Schätzer bezeichnet man in diesem Zusammenhang auch als GLS-Schätzer. Wird GLS zur Bekämpfung von Autokorrelation eingesetzt, geht bei der Transformation eine Beobachtung verloren. Nur wenn diese nach der sog. Prais-Winsten-Transformation berücksichtigt wird, sind die OLS-Schätzer des transformierten Modells effizient.

Das Problem bei dem praktischen Einsatz eines solchen Schätzverfahrens besteht darin, dass die Parameter der Heteroskedastizitäts- bzw. Autokorrelationsstruktur meistens unbekannt sind. Sie müssen geschätzt werden, was jedoch nur konsistent möglich ist (z.B. im Falle von Autokorrelation mit dem Cochrane-Orcutt-Schätzer bei Autokorrelation oder dem Hildreth-Lu-Schätzer bei Autokorrelation). Man spricht dann auch von FGLS (engl. Feasible Generalised Least Squares). FGLS ist daher nur für große Stichproben tauglich. In kleinen Stichproben kann der Fehler bei der Schätzung der Parameter der Heteroskedastizitäts- bzw. Autokorrelationsstruktur dazu führen, dass FGLS nicht unbedingt effizienter ist als OLS. Selbst in großen Stichproben ist FGLS nur dann effizienter, wenn die funktionale Form der Heteroskedastizitäts- bzw. die Autokorrelationsordnung der Autokorrelationsstruktur korrekt erfasst wurden. Wenn nicht, kann es sogar zu verzerrten Schätzungen kommen. Aufgrund dieser Problematik wird in der Praxis in großen Stichproben meist die Verwendung von Newey-West-Standardfehlern bevorzugt.