statistische Testverfahren

statistische Prüfverfahren, Hypothesenprüfung. 1. Begriff: Statistische Testverfahren sind diejenigen Methoden der Inferenzstatistik, mit denen eine Entscheidung über die Beibehaltung oder Zurückweisung einer Nullhypothese H_o mithilfe eines Stichprobenbefundes getroffen wird. Im Fall des Verwerfens der Nullhypothese kann die Alternative als statistisch belegt gelten. Eine statistische Absicherung der Nullhypothese ist aus (entscheidungs-) theoretischen Gründen nicht möglich.

2. Beispiele für den Einsatz von statistischen Testverfahren: a) Eine Lieferung technischer Kleinteile soll gemäß Vertragsbedingungen höchstens 3 Prozent Ausschuss enthalten; die Einhaltung dieser Bedingung kann vom Abnehmer durch ein statistisches Testverfahren überprüft werden.

b) Die Güte einer Produktion kann im Sinne einer Qualitätssicherung anhand geeigneter Parameter über Stichprobenziehungen oder Lebensdauerprüfungen mittels statistischer Tests überprüft werden.

c) Die Qualität einer Bestandsbuchführung bez. Korrektheit des Totalwertes des Lagers kann mithilfe eines statistischen Testverfahrens auf der Grundlage einer Stichprobeninventur getestet werden.

d) Durch ein statistisches Testverfahren kann die Hypothese überprüft werden, die zugrunde liegende, unbekannte Verteilung sei eine Normalverteilung.

d) Liegen mehrere Grundgesamtheiten vor, kann deren Homogenität bez. Parametern oder Verteilungen einer Variablen getestet werden.

3. Gegenstände: a) Ein statistisches Testverfahren kann einen Parameter einer Grundgesamtheit (z.B. Erwartungswert, Varianz, Anteilswert) zum Gegenstand haben (Parametertest). Dabei kann ein punktueller Wert (zweiseitige Fragestellung) oder ein Mindest- bzw. Höchstwert (einseitige Fragestellung) behauptet sein. Auch gibt es die Möglichkeit der Prüfung einer Hypothese über die Verteilung einer Grundgesamtheit, z.B. Normalverteilung (Anpassungstest, Goodness-of-Fit-Test, Chi-Quadrat-Test) oder die Prüfung auf Zufälligkeit der Stichprobenentnahme. Die genannten Gegenstände betreffen, da sie sich nur auf eine Grundgesamtheit beziehen, den Ein-Stichproben-Fall.

b) Der Zwei- und Mehr-Stichproben-Fall betrifft den Vergleich von Parametern bzw. Verteilungen in mehreren Grundgesamtheiten.

4. Gedankenfolge bei der Durchführung von Testverfahren, dargestellt für punktuelle Parameterhypothesen: Es wird zunächst eine kleine (z.B. 0,05) Wahrscheinlichkeit α dafür festgelegt, dass H_o fälschlich abgelehnt wird (Signifikanzniveau, Alpha-Fehler). Die Menge aller möglichen Stichprobenresultate wird in zwei Teilmengen derart zerlegt, dass der einen Teilmenge, der kritischen Region, bei Gültigkeit von H_o eine Wahrscheinlichkeit von höchstens α zukommt. Die Zerlegung erfolgt auf der Grundlage einer Prüfvariablen, z.B. dem Stichprobendurchschnitt bei der Prüfung eines Erwartungswertes. Liefert die Stichprobe einen Befund aus der kritischen Region, wird H_o beim Signifikanzniveau α abgelehnt, sonst beibehalten. Neben dem Risiko eines Alpha-Fehlers besteht auch das Risiko eines Beta-Fehlers, also der fälschlichen Beibehaltung von H_o.

5. Statistische Tests sind nicht symmetrisch in den Hypothesen. Aufgrund der Konstruktion können statistische Tests stets nur die jeweilige Alternativhypothese zum vorgegebenen Signifikanzniveau α statistisch absichern. Lehnt ein Test die Nullhypothese nicht ab, so kann lediglich ausgesagt werden, dass die aktuelle Stichprobe nicht gegen die Nullhypothese spricht. Gute Tests zeichnen sich bei einem vorgegebenen alpha-Fehler durch einen möglichst kleinen beta-Fehler (zumindest punktuell) aus (Gütefunktion, Teststärke).

6. Übersicht über statistische Testverfahren: Eine erste Hauptgruppe von statistischen Testverfahren ist durch die Voraussetzung gekennzeichnet, die betrachteten Variablen besitzen eine Normalverteilung („klassische“, parametrische, verteilungsgebundene statistische Testverfahren). Hierzu zählen etwa der t-Test (Prüfung eines Erwartungswertes; Vergleich zweier Erwartungswerte) oder der F-Test (Vergleich zweier Varianzen). Falls keine spezielle Verteilungsform unterstellt werden kann, werden nichtparametrische Tests verwendet, etwa der Vorzeichentest oder Vorzeichen-Rang-Test (Prüfung eines Medians) oder der Wilcoxon-Mann-Whitney-Test (Vergleich zweier Lokalisationen). Die parametrischen Testverfahren weisen gewisse theoretische Optimalitätseigenschaften auf; die nicht parametrischen (verteilungsfreien) Testverfahren haben die Vorteile nicht restriktiver Anwendungsvoraussetzungen.